Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 6 & 4 & 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}]$

Paso 1

Multiplica $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 6 & 4 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]$ .

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Paso 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 1$ .

Paso 1.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$[\begin{array}{c} 1 x + 0 y + 2 z \\ 2 x + 1 y + 1 z \\ 6 x + 4 y + 1 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}]$

Paso 1.3

Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.

$[\begin{array}{c} x + 2 z \\ 2 x + y + z \\ 6 x + 4 y + z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}]$

Paso 2

Write as a linear system of equations.

$x + 2 z = 1$

$2 x + y + z = - 2$

$6 x + 4 y + z = 3$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resta $2 z$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 1 - 2 z$

$2 x + y + z = - 2$

$6 x + 4 y + z = 3$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $1 - 2 z$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $2 x + y + z = - 2$ por $1 - 2 z$ .

$2 (1 - 2 z) + y + z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 x + 4 y + z = 3$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (1 - 2 z) + y + z$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 (- 2 z) + y + z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 x + 4 y + z = 3$

Paso 3.2.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + 2 (- 2 z) + y + z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 x + 4 y + z = 3$

Paso 3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$2 - 4 z + y + z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 x + 4 y + z = 3$

$2 - 4 z + y + z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 x + 4 y + z = 3$

Paso 3.2.2.1.2

Suma $- 4 z$ y $z$ .

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 x + 4 y + z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 x + 4 y + z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 x + 4 y + z = 3$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $x$ en $6 x + 4 y + z = 3$ por $1 - 2 z$ .

$6 (1 - 2 z) + 4 y + z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

Paso 3.2.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.4.1

Simplifica $6 (1 - 2 z) + 4 y + z$ .

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Paso 3.2.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.4.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 \cdot 1 + 6 (- 2 z) + 4 y + z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

Paso 3.2.4.1.1.2

Multiplica $6$ por $1$ .

$6 + 6 (- 2 z) + 4 y + z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

Paso 3.2.4.1.1.3

Multiplica $- 2$ por $6$ .

$6 - 12 z + 4 y + z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 - 12 z + 4 y + z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

Paso 3.2.4.1.2

Suma $- 12 z$ y $z$ .

$6 + 4 y - 11 z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 + 4 y - 11 z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 + 4 y - 11 z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 + 4 y - 11 z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$y - 3 z = - 2 - 2$

$6 + 4 y - 11 z = 3$

$x = 1 - 2 z$

Paso 3.3.2

Suma $3 z$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - 2 - 2 + 3 z$

$6 + 4 y - 11 z = 3$

$x = 1 - 2 z$

Paso 3.3.3

Resta $2$ de $- 2$ .

$y = - 4 + 3 z$

$6 + 4 y - 11 z = 3$

$x = 1 - 2 z$

$y = - 4 + 3 z$

$6 + 4 y - 11 z = 3$

$x = 1 - 2 z$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- 4 + 3 z$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $6 + 4 y - 11 z = 3$ por $- 4 + 3 z$ .

$6 + 4 (- 4 + 3 z) - 11 z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $6 + 4 (- 4 + 3 z) - 11 z$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 + 4 \cdot - 4 + 4 (3 z) - 11 z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

Paso 3.4.2.1.1.2

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$6 - 16 + 4 (3 z) - 11 z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

Paso 3.4.2.1.1.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$6 - 16 + 12 z - 11 z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

$6 - 16 + 12 z - 11 z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

Paso 3.4.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.4.2.1.2.1

Resta $16$ de $6$ .

$- 10 + 12 z - 11 z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

Paso 3.4.2.1.2.2

Resta $11 z$ de $12 z$ .

$- 10 + z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

$- 10 + z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

$- 10 + z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

$- 10 + z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

$- 10 + z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

Paso 3.5

Mueve todos los términos que no contengan $z$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.5.1

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$z = 3 + 10$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

Paso 3.5.2

Suma $3$ y $10$ .

$z = 13$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

$z = 13$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

Paso 3.6

Reemplaza todos los casos de $z$ por $13$ en cada ecuación.

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Paso 3.6.1

Reemplaza todos los casos de $z$ en $y = - 4 + 3 z$ por $13$ .

$y = - 4 + 3 (13)$

$z = 13$

$x = 1 - 2 z$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.2.1

Simplifica $- 4 + 3 (13)$ .

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Paso 3.6.2.1.1

Multiplica $3$ por $13$ .

$y = - 4 + 39$

$z = 13$

$x = 1 - 2 z$

Paso 3.6.2.1.2

Suma $- 4$ y $39$ .

$y = 35$

$z = 13$

$x = 1 - 2 z$

$y = 35$

$z = 13$

$x = 1 - 2 z$

$y = 35$

$z = 13$

$x = 1 - 2 z$

Paso 3.6.3

Reemplaza todos los casos de $z$ en $x = 1 - 2 z$ por $13$ .

$x = 1 - 2 \cdot 13$

$y = 35$

$z = 13$

Paso 3.6.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.4.1

Simplifica $1 - 2 \cdot 13$ .

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Paso 3.6.4.1.1

Multiplica $- 2$ por $13$ .

$x = 1 - 26$

$y = 35$

$z = 13$

Paso 3.6.4.1.2

Resta $26$ de $1$ .

$x = - 25$

$y = 35$

$z = 13$

$x = - 25$

$y = 35$

$z = 13$

$x = - 25$

$y = 35$

$z = 13$

$x = - 25$

$y = 35$

$z = 13$

Paso 3.7

Enumera todas las soluciones.

$x = - 25, y = 35, z = 13$